Determine se cada uma das equações abaixo são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(e^x sen y+3 y) d x+(3 x-e^x sen y) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
l(e^xsin y + 3yr),dx ;+;l(3x - e^xsin yr),dy ;=;0
e pede para verificar se ela é exata. O conteúdo é de equações diferenciais exatas, em que usamos o teste
partial Mpartial y;=;partial Npartial x,
onde M(x,y) multiplica dx e N(x,y) multiplica dy.

Passo 2

Aqui
M(x,y)=e^xsin y + 3y, N(x,y)=3x - e^xsin y
O critério de exatidão diz que devemos comparar
partial M/partial y com partial N/partial x.

Passo 3

Calculando as parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(e^xsin y + 3yr) =e^xcos y + 3,
partial Npartial x =partialpartial xl(3x - e^xsin yr) =3 - e^xsin y
Como
e^xcos y + 3 ;neq; 3 - e^xsin y
para geral (x,y), a equação não satisfaz partial M/partial y=partial N/partial x.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata.

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