Determine se cada uma das equações abaixo são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(y e^x y cos 2 x-2 e^x y sen 2 x+2 x)+(x e^x y cos 2 x-3)=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=y e^xycos2x-2e^xysin2x+2x, N(x,y)=x e^xycos2x-3
é exata, e em caso afirmativo encontrar sua solução implícita. Vamos usar o critério de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e depois achar uma função potencial psi(x,y) tal que psix=M e psiy=N.

Passo 2

Calculamos primeiro
partial Mpartial y =partialpartial yl(y e^xycos2xr) -partialpartial yl(2e^xysin2xr) +partialpartial y(2x)
Para cada termo:
partialpartial y(y e^xycos2x) =e^xycos2x + yl(xe^xycos2xr),
partialpartial yl(2e^xysin2xr) =2l(xe^xysin2xr),
e partial(2x)/partial y=0. Logo
partial Mpartial y =e^xycos2x + x y,e^xycos2x -2x,e^xysin2x
Agora
partial Npartial x =partialpartial xl(x e^xycos2xr) -partialpartial x(3)
Pelo produto,
partialpartial x(x e^xycos2x) =e^xycos2x + xl(y e^xycos2x -2e^xysin2xr),
e partial(3)/partial x=0. Assim
partial Npartial x =e^xycos2x + x y,e^xycos2x -2x,e^xysin2x =partial Mpartial y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Existe psi(x,y) com
psix=M. Integramos M em relação a x:
psi(x,y) =integrall(y e^xycos2x -2e^xysin2x +2xr),dx
Observe que, definindo u(x)=e^xycos2x, tem-se
u'(x) =y e^xycos2x -2e^xysin2x,
de modo que o integrando é u'(x)+2x. Logo
psi(x,y)=u(x)+integral 2x,dx + h(y) =e^xycos2x + x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo psiy=N, calculamos
psiy =partialpartial yl(e^xycos2x + x^2 + h(y)r) =x e^xycos2x + h'(y)
e igualamos a
,N(x,y)=x e^xycos2x -3. Assim
x e^xycos2x + h'(y)=x e^xycos2x -3 Longrightarrow h'(y)=-3 Longrightarrow h(y)=-3y + C

Passo 5

Portanto a função potencial é
psi(x,y) =e^xycos2x + x^2 -3y,
e a solução implícita da equação exata é
boxede^xycos2x + x^2 -3y = C

Resposta

A equação é exata e sua solução geral implícita é
e^xycos2x + x^2 -3y = C

Exercícios relacionados