Determine se cada uma das equações abaixo são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a forma diferencial
com
é exata, e em caso afirmativo encontrar sua solução implícita. Vamos usar o critério de exatidão
e depois achar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Calculamos primeiro
Para cada termo:
e
. Logo
Agora
Pelo produto,
e
. Assim
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Existe
com
. Integramos
em relação a
:
Observe que, definindo
, tem-se
de modo que o integrando é
. Logo
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
, calculamos
e igualamos a
. Assim
Passo 5
Portanto a função potencial é
e a solução implícita da equação exata é
Resposta
A equação é exata e sua solução geral implícita é