Determine se cada uma das equações abaixo são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
x d x(x^2+y^2)^3 / 2+y d y(x^2+y^2)^3 / 2=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
x,dxl(x^2+y^2r)^3/2 ;+;y,dyl(x^2+y^2r)^3/2=0
que podemos escrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x(x^2+y^2)^3/2, N(x,y)=y(x^2+y^2)^3/2
O conteúdo aqui é testar exatidão (verificar se partial M/partial y=partial N/partial x) e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial Psi(x,y) cuja diferencial total seja dPsi=M,dx+N,dy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(x,(x^2+y^2)^-3/2r) =-3,x,y,(x^2+y^2)^-5/2,
partial Npartial x =partialpartial xl(y,(x^2+y^2)^-3/2r) =-3,x,y,(x^2+y^2)^-5/2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) =x(x^2+y^2)^3/2
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
Psi(x,y) =integral x(x^2+y^2)^3/2,dx =-1raizx^2+y^2+h(y),
onde h(y) é uma função ainda a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial Psipartial y =-partialpartial yl((x^2+y^2)^-1/2r)+h'(y) =y(x^2+y^2)^3/2+h'(y)
Mas queremos partial Psi/partial y=N(x,y)=y/(x^2+y^2)^3/2. Logo
y(x^2+y^2)^3/2+h'(y) =y(x^2+y^2)^3/2 Longrightarrow h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=const

Passo 5

A função potencial fica
Psi(x,y)=-1raizx^2+y^2+C,
e a solução geral implícita da eq. exata é
Psi(x,y)=const ;Longrightarrow; -1raizx^2+y^2=K ;Longrightarrow; 1raizx^2+y^2=C

Resposta

A equação é exata e sua solução implícita é
1raizx^2+y^2=C,
onde C é constante de integração.

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