Determine se cada uma das equações abaixo são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
que podemos escrever na forma
com
O conteúdo aqui é testar exatidão (verificar se
) e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial
cuja diferencial total seja
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função ainda a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
Mas queremos
. Logo
Passo 5
A função potencial fica
e a solução geral implícita da eq. exata é
Resposta
A equação é exata e sua solução implícita é
onde
é constante de integração.