Use a integração por partes para calcular a integral integrali^1+i z e^z d z, escrevendo a resposta na forma a+i b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integrali^1+i z e^z,dz por integração por partes, sabendo que a função é inteira, logo podemos usar primitiva. Vamos aplicar conceitos de integrais de funções complexas e integração por partes para encontrar a primitiva de z e^z.

Passo 2

Para achar a primitiva usaremos integração por partes em variáveis complexas: escolhemos u = z e dv = e^zdz. Então du = dz e v = e^z. Assim,
integral z e^zdz = z e^z - integral e^zdz = z e^z - e^z + C = (z - 1)e^z + C

Passo 3

Denotando F(z) = (z - 1)e^z, avaliamos de z=i até z=1+i:
F(1+i) - F(i) = ((1+i)-1)e^1+i - (i-1)e^i = i e^1+i - (i-1)e^i

Passo 4

Fatorando e^i em comum:
i e^1+i - (i-1)e^i = e^il(i e - (i - 1)r) = e^il(1 + i(e-1)r)

Passo 5

Por fim, usamos e^i = cos1 + isin1 e multiplicamos:
(cos1 + isin1)(1 + i(e-1)) = l(cos1 - (e-1)sin1r) + il(sin1 + (e-1)cos1r)

Resposta

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