Determine se cada uma das equações é exata. Se for, encontre a solução.
(y^{\prime}=\frac{x+y}{2 x})

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = x + y2,x
e pede para determinar se ela é exata.

Passo 2

Vamos escrever a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Partimos de
dydx = x + y2x
e reorganizamos:
dydx - x+y2x = 0 Longrightarrow -,x+y2x,dx + dy = 0
Multiplicando tudo por 2x para limpar denominador, obtemos
-(x+y),dx + 2x,dy = 0
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M(x,y) = -(x+y), N(x,y) = 2x

Passo 3

Para testar exatidão comparamos
partial Mpartial y e partial Npartial x
Calculamos
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = 2
Como -1 neq 2, a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x não se satisfaz.

Resposta

A equação não é exata, pois
partial Mpartial y = -1 neq 2 = partial Npartial x

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