Determine o vetor normal unitário N(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
N(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
r(t)=a cos t i+b sin t j+t k

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário N(t) para a curva
r(t)=acos t,i+bsin t,j+t,k,
usando
N(t)=dwidehatTdtl|dwidehatTdtr|,
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário. Para isso vamos precisar de:
  1. Calcular r'(t) e seu módulo v(t).
  2. Obter widehatT(t)=r'(t)/v(t).
  3. Diferenciar widehatT(t) e normalizar.

Passo 2

Calcular a velocidade e seu módulo.
r'(t)=(-asin t),i+(bcos t),j+1,k
v(t)=l|r'(t)r| =raiza^2sin^2t+b^2cos^2t+1

Passo 3

Formar o vetor tangente unitário.
widehatT(t) =r'(t)v(t) =(-asin t,;bcos t,;1)v(t)

Passo 4

Diferenciar widehatT(t) usando regra do quociente. Após cálculo (veja r’’ e v'(t)), obtém-se
dwidehatTdt =l(-(b^2+1)acos t,;-(a^2+1)bsin t,;(b^2-a^2)sin tcos tr)v(t)^3

Passo 5

Calcular o módulo de tfracdwidehatTdt e formar N(t).
O módulo é
l|tfracdwidehatTdtr| =raiz(b^2+1)^2a^2cos^2t+(a^2+1)^2b^2sin^2t+(b^2-a^2)^2sin^2tcos^2tv(t)^3
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N(t) =l(-(b^2+1)acos t,;-(a^2+1)bsin t,;(b^2-a^2)sin tcos tr) raiz(b^2+1)^2a^2cos^2t+(a^2+1)^2b^2sin^2t+(b^2-a^2)^2sin^2tcos^2t

Resposta

boxed N(t) =l(-(b^2+1)acos t,;-(a^2+1)bsin t,;(b^2-a^2)sin tcos tr) raiz(b^2+1)^2a^2cos^2t+(a^2+1)^2b^2sin^2t+(b^2-a^2)^2sin^2tcos^2t

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