1. (População) Estima-se que daqui t meses, a população de uma cidade será de P(t)= 3 t+5 t^3 / 2+6000 habitantes. A que taxa percentual a população estará variando com o tempo daqui a 4 meses?

Passo 1

O enunciado fornece a população estimada em função do tempo em meses t como
P(t)=3t+5t^3/2+6000
Ele pede a taxa percentual de variação da população em t=4 meses. Para isso, vamos usar derivadas para obter a taxa de crescimento instantânea P'(t) e depois calcular o percentual relativo P'(4)/P(4)times100%.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de P(t). Aplicando a regra de potência, o termo 3t gera 3 e o termo 5t^3/2 gera
ddtl(5t^3/2r)=5cdot32t^1/2=152raizt
O termo constante some. Assim,
P'(t)=3+152raizt

Passo 3

Substituindo t=4 em P'(t), usamos raiz4=2 e obtemos
P'(4)=3+152cdot2=3+15=18
que é a taxa de variação em habitantes por mês no instante considerado.

Passo 4

Agora calculamos P(4). Temos
P(4)=3cdot4+5cdot4^3/2+6000=12+40+6000=6052,
valor total da população em habitantes.

Passo 5

A taxa percentual de variação é
P'(4)P(4)times100%=186052times100%approx0,297%por mês ê

Resposta

A população estará variando a aproximadamente 0,297% por mês daqui a 4 meses.

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