Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
d yd x=-a x-b yb x-c y

Passo 1

O enunciado pede para checar se a equação diferencial
dydx = -a x - b yb x - c y
é exata e, caso seja, encontrar sua solução. O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas, onde precisamos escrever a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificar se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma diferencial, multiplicamos ambos os lados por dx e somamos (a x - b y)dx em ambos os lados:
(b x - c y),dy + (a x - b y),dx = 0
Logo, podemos identificar
M(x,y) = a x - b y,
N(x,y) = b x - c y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(a x - b y) = -b,
partial Npartial x = partialpartial x(b x - c y) = b
Como -b neq b em geral (exceto se b=0), concluímos que a equação NÃO é exata para bneq0.

Passo 4

No caso especial b=0, temos
M(x,y)=a x,
N(x,y)=-c y,
e ambas as derivadas parciais são zero, logo a equação é exata.

Passo 5

Para b=0, buscamos a função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = a x implies phi(x,y) = a x^22 + h(y),
partial phipartial y = h'(y) = -c y implies h(y) = -c y^22
Portanto, a solução implícita é
phi(x,y) = a x^22 - c y^22 = C

Resposta

A equação não é exata para b \neq 0. Se b = 0, ela é exata e a solução implícita é
a x^22 - c y^22 = C,
o que também pode ser escrito como
a x^2 - c y^2 = K

Exercícios relacionados