Use o Método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral das EDOs
Passo 1
Resumo do enunciado: a EDO que vamos resolver é
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, precisamos achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. Montamos a equação característica associada:
cujo polinômio fatora como
Passo 3
Pelo método dos coeficientes indeterminados, como o termo forçante é
, fazemos o palpite
com constantes
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original
e agrupamos os senos e cossenos:
Isso leva a
Passo 6
Igualando coeficientes de cada função trigonométrica, obtemos o sistema:
Da primeira equação vem
logo
.
Passo 7
Com isso, a solução particular é
A solução geral da EDO é a soma de
Resposta
A solução geral é
.