Use o Método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral das EDOs
y^prime prime+2 y^prime=4 sen 2 t

Passo 1

Resumo do enunciado: a EDO que vamos resolver é y'' + 2y' = 4sin 2t. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, precisamos achar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y'' + 2y' = 0. Montamos a equação característica associada:
r^2 + 2r = 0
cujo polinômio fatora como r(r + 2) = 0, dando raízes r = 0 e r = -2. Assim, a solução homogênea é
yh(t) = C1 + C2 e^-2t.

Passo 3

Pelo método dos coeficientes indeterminados, como o termo forçante é 4sin 2t, fazemos o palpite
yp(t) = Acos 2t + Bsin 2t
com constantes A e B a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(t) = -2Asin 2t + 2Bcos 2t,
yp''(t) = -4Acos 2t -4Bsin 2t

Passo 5

Substituímos yp, yp' e yp'' na equação original y'' + 2y' = 4sin 2t e agrupamos os senos e cossenos:
(-4Acos 2t -4Bsin 2t) + 2(-2Asin 2t + 2Bcos 2t) = 4sin 2t
Isso leva a
(-4A + 4B)cos 2t + (-4B -4A)sin 2t = 0cos 2t + 4sin 2t

Passo 6

Igualando coeficientes de cada função trigonométrica, obtemos o sistema:
-4A + 4B = 0, -4B -4A = 4
Da primeira equação vem B = A. Substituindo na segunda:
-4A -4A = 4implies -8A = 4implies A = -tfrac12,
logo B = -tfrac12.

Passo 7

Com isso, a solução particular é
yp(t) = -tfrac12cos 2t -tfrac12sin 2t
A solução geral da EDO é a soma de yh com yp.

Resposta

A solução geral é y(t) = C1 + C2 e^-2t - tfrac12cos 2t - tfrac12sin 2t.

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