Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
(9) (y e^x y cos 2 x-2 e^x y sen 2 x+2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial da forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
é exata, e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Aqui temos
M(x,y)=y,e^xycos2x-2,e^xysin2x+2x
e (pela inspeção da primitiva que gera M)
N(x,y)=x,e^xycos2x

Passo 2

Para checar a exatidão, calculamos
partial Mpartial y e partial Npartial x
Temos
partial Mpartial y =partialpartial yl(y,e^xycos2xr) -partialpartial yl(2,e^xysin2xr) +partialpartial y(2x)
=e^xycos2x + y,(e^xyxcos2x) -2,(e^xyxsin2x) +0
=e^xycos2x+ x,y,e^xycos2x-2x,e^xysin2x
E
partial Npartial x =partialpartial xl(x,e^xycos2xr) =e^xycos2x + x,(e^xyycos2x) + x,e^xy(-2sin2x)
=e^xycos2x+ x,y,e^xycos2x-2x,e^xysin2x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
psi(x,y) =integrall(y,e^xycos2x-2,e^xysin2x+2xr),dx
Observamos que
ddxl(e^xycos2xr) =y,e^xycos2x -2,e^xysin2x,
portanto
integrall(y,e^xycos2x-2,e^xysin2xr),dx =e^xycos2x
E
integral 2x,dx=x^2
Logo
psi(x,y)=e^xycos2x+x^2+h(y),
onde h(y) é função ainda a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial psipartial y=N(x,y)
Calculamos
partialpartial yl(e^xycos2x+x^2+h(y)r) =x,e^xycos2x+h'(y)
e impomos ser igual a N(x,y)=x,e^xycos2x. Assim
h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=constante

Resposta

A equação é exata e a sua solução geral é
e^xycos2x+x^2=C,
com C constante arbitrária.

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