Seja f: R R uma função tal que 1+x^2+x^63 <= f(x)+1 <= sec (x^2)+x^63 para qualquer x in(-raizpi2, raizpi2). Calcule lim x 0 f(x) e lim x 0(f(x) cos (1x+x^2)).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f tal que, para todo x em l(-raiztfracpi2,raiztfracpi2r),
1 + x^2 + x^63 ;<=; f(x) + 1 ;<=; secl(x^2r) + x^63
Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para achar limxto0f(x). Depois, usando que cos é uma função limitada, calculamos limxto0 f(x)cosl(tfrac1x+x^2r).

Passo 2

Calculamos os limites das funções que cercam f(x)+1.
Limite inferior:
limxto0l(1 + x^2 + tfracx^63r) = 1 + 0 + 0 = 1
Limite superior:
limxto0l(sec(x^2) + tfracx^63r) = sec(0) + 0 = 1
Como
limxto0l[,1 + x^2 + tfracx^63r] =limxto0l[sec(x^2) + tfracx^63r] =1,
pelo Teorema do Confronto segue
limxto0l(f(x)+1r)=1 Longrightarrow limxto0f(x)=0

Passo 3

Agora queremos
limxto0f(x),cos!l(tfrac1x+x^2r)
Já sabemos que limxto0f(x)=0 e que cosl(tfrac1x+x^2r) está sempre entre -1 e 1. Logo, pelo fato de um fator tender a zero e o outro ser limitado, o produto tende a zero:
limxto0f(x),cos!l(tfrac1x+x^2r)=0

Resposta

limxto0f(x)=0
limxto0f(x),cos!l(tfrac1x+x^2r)=0

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