Sejam tais que e . Calcule .)

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,g: Rto R com as desigualdades
lvertsin xrvert<= f(x)<=3lvert xrvert e
0<= g(x)<=1+lvertsin xrvert, e pede
limxto0l(f(x)g(x)+cos xr).
Para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (sanduíche) para a parte f(x)g(x) e a continuidade de cos x.

Passo 2

Primeiro, observe que
lvert f(x)rvert <= 3lvert xrvert
Como limxto03lvert xrvert=0, pelo Teorema do Confronto temos
limxto0f(x)=0

Passo 3

Agora, usando 0<= g(x)<=1+lvertsin xrvert<=2, temos
0 <= f(x),g(x)<= f(x)cdot2 <= 2cdot3lvert xrvert =6lvert xrvert
Como limxto06lvert xrvert=0, novamente pelo Teorema do Confronto
limxto0f(x),g(x)=0

Passo 4

Como cos x é contínua em 0, vale
limxto0cos x = cos(0)=1
Logo, somando os limites:
limxto0l(f(x)g(x)+cos xr) =limxto0f(x)g(x)+limxto0cos x =0+1=1

Resposta

O valor do limite é 1.

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