Determine para cada função:
a) o intervalo onde a função é crescente e decrescente;
b) os pontos extremos locais (máximos e mínimos);
c) os pontos de inflexão;
d) a concavidade;
e) o gráfico.
(i) f(x)=x^3-3 x^2+3
(ii) f(x)=ln (1+x^2)
(iii) f(x)=|x^2+9|
(iv) f(x)=x^2+1x.

Passo 1

O enunciado pede para cada função determinar:
a) intervalos de crescimento e decrescimento;
b) pontos de extremos locais;
c) pontos de inflexão;
d) concavidade;
e) esboço do gráfico.
Vamos usar derivadas primeira e segunda, além de analisar sinais e possíveis assíntotas ou quinas (no caso do valor absoluto).

Passo 2

Análise de f(x)=x^3-3x^2+3:
1. Derivada primeira:
f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)
As raízes são x=0 e x=2.
f'(x)>0 em (-infty,0) e em (2,infty) Rightarrow crescente nesses intervalos.
f'(x)<0 em (0,2) Rightarrow decrescente aí.
2. Extremos locais:
– Em x=0, f' muda de + para – Rightarrow máximo local em (0,f(0))=(0,3).
– Em x=2, f' muda de – para +Rightarrow mínimo local em (2,f(2))=(2,-1).
3. Derivada segunda:
f''(x)=6x-6,
zera em x=1.
f''<0 em (-infty,1) Rightarrow côncavo para baixo;
f''>0 em (1,infty) Rightarrow côncavo para cima.
Logo ponto de inflexão em l(1,f(1)r)=(1,1).
4. Gráfico: cúbica com ramos que vão a -infty quando xto-infty e a +infty quando xto+infty, passando pelos extremos e inflexão indicados.

Passo 3

Análise de f(x)=lnl(1+x^2r):
1. Domínio R.
2. Derivada primeira:
f'(x)=2x1+x^2
f'(x)<0 em (-infty,0) Rightarrow decrescente;
f'(x)>0 em (0,infty) Rightarrow crescente.
3. Extremo local: única raiz em x=0 com troca de – para +Rightarrow mínimo em l(0,0r).
4. Derivada segunda:
f''(x)=2(1-x^2)(1+x^2)^2,
zeros em x=pm1.
f''>0 em (-1,1) Rightarrow côncavo para cima;
f''<0 em (-infty,-1)cup(1,infty) Rightarrow côncavo para baixo.
Pontos de inflexão em l(pm1,ln2r).
5. Gráfico: função par, mínimo em 0, cresce logaritmicamente e tende a +infty quando |x|toinfty.

Passo 4

Análise de f(x)=l|,x^2+9r|:
Como x^2+9>0 para todo x, temos simplesmente f(x)=x^2+9.
1. Derivada primeira:
f'(x)=2x,
zero em x=0.
f'<0 em (-infty,0) Rightarrow decrescente;
f'>0 em (0,infty) Rightarrow crescente.
Extremo em x=0: mínimo local em l(0,9r).
2. Derivada segunda:
f''(x)=2>0
em todo R Rightarrow sempre côncavo para cima, sem ponto de inflexão.
3. Gráfico: parábola com vértice em (0,9).

Passo 5

Análise de f(x)=x^2+1x=x+1x:
1. Domínio xneq0.
2. Derivada primeira:
f'(x)=1-1x^2=x^2-1x^2,
zeros em x=pm1.
– Em (-infty,-1), numerador >0 e x^2>0 Rightarrow f'>0 crescente;
– Em (-1,0), numerador <0 Rightarrow f'<0 decrescente;
– Em (0,1), numerador <0 Rightarrow f'<0 decrescente;
– Em (1,infty), numerador >0 Rightarrow f'>0 crescente.
3. Extremos locais:
– Máximo em x=-1, f(-1)=-2.
– Mínimo em x=1, f(1)=2.
4. Derivada segunda:
f''(x)=2x^3,
f''<0 em (-infty,0) Rightarrow côncavo para baixo;
f''>0 em (0,infty) Rightarrow côncavo para cima.
Não há zeros de f'', logo sem ponto de inflexão.
5. Gráfico: ramo à esquerda de x=0 decresce de 0^- até -1 e sobe em (-infty,-1), ramo à direita tem assíntota vertical em x=0 e oblíqua y=x.

Resposta

(i) f(x)=x^3-3x^2+3
a) crescente em (-infty,0)cup(2,infty), decrescente em (0,2).
b) máximo local em (0,3), mínimo local em (2,-1).
c) ponto de inflexão em (1,1).
d) côncavo para baixo em (-infty,1), côncavo para cima em (1,infty).
e) cúbica com ramos saindo de -infty e indo a +infty, passando pelos pontos indicados.
(ii) f(x)=ln(1+x^2)
a) decrescente em (-infty,0), crescente em (0,infty).
b) mínimo local em (0,0).
c) inflexões em l(pm1,ln2r).
d) côncavo para cima em (-1,1), côncavo para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty).
e) funçãopar, logarítmica, cresce sem limite.
(iii) f(x)=|x^2+9|
a) decrescente em (-infty,0), crescente em (0,infty).
b) mínimo local em (0,9).
c) sem ponto de inflexão.
d) sempre côncavo para cima.
e) parábola com vértice em (0,9).
(iv) f(x)=x^2+1x
a) crescente em (-infty,-1)cup(1,infty), decrescente em (-1,0)cup(0,1).
b) máximo em (-1,-2), mínimo em (1,2).
c) sem ponto de inflexão.
d) côncavo para baixo em (-infty,0), côncavo para cima em (0,infty).
e) ramo hiperbólico com assíntotas em x=0 e y=x.

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