Os limites abaixo existem?
lim x 1 f(x)-f(1)x-1, onde f(x)=clx^2, & se x<1, 2 x-1, & se x>1,

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2, & x<1, 2x-1, & x>1,
e pergunta se existe o limite
limxto1f(x)-f(1)x-1
Isso é justamente a verificação da derivada em x=1 via limites laterais. Para resolver, vamos (1) determinar f(1) de modo que o quociente faça sentido, (2) calcular o limite pela esquerda e (3) calcular o limite pela direita.

Passo 2

Precisamos de f(1) no quociente. Como
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1 e limxto1^+f(x)=limxto1^+(2x-1)=1,
faz sentido definir
f(1)=1
para que f seja contínua em 1.

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda: para x<1 vale f(x)=x^2, então
limxto1^-f(x)-f(1)x-1 =limxto1^-x^2-1x-1 =limxto1^-(x-1)(x+1)x-1 =limxto1^-(x+1)=2

Passo 4

Agora o limite pela direita: para x>1 vale f(x)=2x-1, então
limxto1^+f(x)-f(1)x-1 =limxto1^+2x-1-1x-1 =limxto1^+2x-2x-1 =limxto1^+2=2

Passo 5

Como ambos os limites laterais valem 2, o limite geral existe e é igual a 2.

Resposta

O limite existe e vale 2.

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