Determine se cada uma das funções abaixo é diferenciável no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para ver se
f é diferenciável em
x0=0 .
O conceito de diferenciabilidade em um ponto diz quef é diferenciável em
0 se existe
O conceito de diferenciabilidade em um ponto diz que
e esse limite é finito.
Passo 2
Antes de tentar o quociente diferencial, convém ver que
f é contínua em
0 . Para
xneq0 temos
Como
xto0 faz
lvert xrvertto0 e
lvert x+1rvertto1 , segue
f(x)to0=f(0) . Logo
f é contínua em
0 .
Passo 3
Vamos ao quociente que define a derivada em
0 :
Passo 4
Para
xto0 , o fator
x+1to1 , mas
cos(1/x) oscila entre
-1 e
1 sem ter limite. Portanto o produto
não se aproxima de nenhum valor fixo quando
xto0 . Isso significa que
não existe.
Resposta
A função
f não é diferenciável em
x0=0 .