Determine se cada uma das funções abaixo é diferenciável no ponto

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= l(x^2+xr)cosl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede para ver se f é diferenciável em x0=0.
O conceito de diferenciabilidade em um ponto diz que f é diferenciável em 0 se existe
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0
e esse limite é finito.

Passo 2

Antes de tentar o quociente diferencial, convém ver que f é contínua em 0. Para xneq0 temos
lvert f(x)rvert =llvert x^2+xrrvert;llvertcostfrac1xrrvert <=llvert x^2+xrrvert =lvert xrvert;llvert x+1rrvert
Como xto0 faz lvert xrvertto0 e lvert x+1rvertto1, segue f(x)to0=f(0). Logo f é contínua em 0.

Passo 3

Vamos ao quociente que define a derivada em 0:
f(x)-f(0)x-0 =(x^2+x)cos(tfrac1x)-0x =(x+1)cosl(tfrac1xr)

Passo 4

Para xto0, o fator x+1to1, mas cos(1/x) oscila entre -1 e 1 sem ter limite. Portanto o produto
(x+1)cosl(tfrac1xr)
não se aproxima de nenhum valor fixo quando xto0. Isso significa que
limxto0f(x)-f(0)x
não existe.

Resposta

A função f não é diferenciável em x0=0.

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