Use as sequências das somas parciais para mostrar que
sumn=0^infty 1n(n+1)=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
sumn=0^infty1n(n+1) = 1
Note que o termo para n=0 fica 10cdot1, que não faz sentido, então a série deve ser interpretada como
sumn=1^infty1n(n+1)
O método será usar as somas parciais e observar cancelamentos (série telescópica).

Passo 2

Começamos escrevendo a N-ésima soma parcial
SN ;=;sumn=1^N1n(n+1)
Agora, decompomos o termo geral usando frações parciais:
1n(n+1) ;=;1n;-;1n+1

Passo 3

Substituindo na soma parcial, obtemos
SN ;=;sumn=1^Nl(1n-1n+1r)
Essa soma telescopa, pois ao escrever os primeiros termos:
l(1-tfrac12r)+l(tfrac12-tfrac13r)+cdots+l(tfrac1N-tfrac1N+1r),
todos os termos intermediários cancelam, sobrando apenas
SN = 1 - 1N+1

Passo 4

Para concluir, tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN =limNtoinftyl(1 - 1N+1r) =1-0 =1
Assim, a soma da série infinita é 1.

Resposta

sumn=1^infty1n(n+1) = 1

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