Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}} d x Passo 1O enunciado pede para determinar se \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\,dx é convergente e, em caso afirmativo, calcular o seu valor. O ponto crítico é x=0, onde \sin(x)=0, caracterizando uma integral imprópria. Passo 2Para x\to0^+, temos \sin(x)\sim x e \cos(x)\sim1, então \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}. Como \int_{0}x^{-1/2}\,dx converge (é do tipo p-integral com p=1/2<1), nossa integral também converge. Passo 3Para calcular, fazemos a substituição t=\sqrt{\sin(x)}\quad\Longrightarrow\quad t^2=\sin(x), diferenciando, 2t\,dt=\cos(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(x)\,dx=2t\,dt. Assim, \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\,dx =\frac{\cos(x)}{t}\,dx =2\,dt. Passo 4Os limites em t são: para x=0, t=0; para x=\tfrac{\pi}{4}, t=\sqrt{\sin(\tfrac{\pi}{4})} =\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} =2^{-1/4}. Logo, \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\,dx =\int_{0}^{2^{-1/4}}2\,dt =2\,t\Big|_{0}^{2^{-1/4}} =2\cdot2^{-1/4} =2^{3/4}. RespostaConvergente e vale 2^{3/4}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. \int_{0}^{2} \frac{1}{4 x-5} d x Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2^{x}} d x Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. \int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} d x Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. \int_{1}^{e} \frac{1}{x \sqrt[4]{\ln (x)}} d x