Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\,dx
é convergente e, em caso afirmativo, calcular o seu valor. O ponto crítico é x=0, onde \sin(x)=0, caracterizando uma integral imprópria.

Passo 2

Para x\to0^+, temos \sin(x)\sim x e \cos(x)\sim1, então
\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\sim\frac{1}{\sqrt{x}}.
Como
\int_{0}x^{-1/2}\,dx
converge (é do tipo p-integral com p=1/2<1), nossa integral também converge.

Passo 3

Para calcular, fazemos a substituição
t=\sqrt{\sin(x)}\quad\Longrightarrow\quad t^2=\sin(x),
diferenciando,
2t\,dt=\cos(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(x)\,dx=2t\,dt.
Assim,
\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\,dx =\frac{\cos(x)}{t}\,dx =2\,dt.

Passo 4

Os limites em t são:
para x=0, t=0;
para x=\tfrac{\pi}{4},
t=\sqrt{\sin(\tfrac{\pi}{4})} =\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} =2^{-1/4}.
Logo,
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}\,dx =\int_{0}^{2^{-1/4}}2\,dt =2\,t\Big|_{0}^{2^{-1/4}} =2\cdot2^{-1/4} =2^{3/4}.

Resposta

Convergente e vale 2^{3/4}.

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