Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2^{x}} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos estudar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2^{x}}\,dx
O conteúdo envolvido é avaliação de integrais impróprias em intervalo infinito e integração de funções exponenciais.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em termos de exponencial de base e. Como
\frac{1}{2^{x}}=2^{-x}=e^{-x\ln2},
podemos trabalhar com a função e^{-x\ln2}.

Passo 3

Calculamos a primitiva de e^{-x\ln2}. Sabemos que, para a>0,
\int e^{-ax}\,dx=-\frac{1}{a}e^{-ax}+C.
Tomando a=\ln2, obtemos
\int \frac{1}{2^{x}}\,dx =\int e^{-x\ln2}\,dx =-\frac{1}{\ln2}\,e^{-x\ln2} =-\frac{2^{-x}}{\ln2}+C.

Passo 4

Avaliamo-la no intervalo [0,t] e depois fazemos t\to+\infty:
\int_{0}^{t}\frac{1}{2^{x}}\,dx =\Bigl[-\frac{2^{-x}}{\ln2}\Bigr]_{0}^{t} =-\frac{2^{-t}}{\ln2}-\Bigl(-\frac{2^{0}}{\ln2}\Bigr) =-\frac{2^{-t}}{\ln2}+\frac{1}{\ln2}.
Como \lim_{t\to+\infty}2^{-t}=0, resulta
\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{2^{x}}\,dx =\frac{1}{\ln2}.
O valor é finito, logo a integral converge.

Resposta

A integral converge e vale \displaystyle \frac{1}{\ln2}.

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