Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{2} \frac{1}{4 x-5} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{0}^{2} \frac{1}{4x-5}\,dx
e decidir se ela é convergente ou divergente. O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade no intervalo de integração.

Passo 2

Identificamos que o denominador 4x-5 se anula em x=\tfrac{5}{4}=1,25, que está dentro de [0,2]. Logo, devemos escrever
\int_{0}^{2} \frac{1}{4x-5}\,dx =\int_{0}^{5/4}\frac{1}{4x-5}\,dx +\int_{5/4}^{2}\frac{1}{4x-5}\,dx
e estudar cada parte como limite impróprio.

Passo 3

Antiderivada de \frac1{4x-5} é
\int \frac{1}{4x-5}\,dx =\frac{1}{4}\ln\bigl|4x-5\bigr|+C.
Para o primeiro termo consideramos
\int_{0}^{5/4}\frac{1}{4x-5}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{0}^{5/4-\varepsilon}\frac{1}{4x-5}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\frac{1}{4}\Bigl[\ln\bigl|4x-5\bigr|\Bigr]_{0}^{5/4-\varepsilon}.
Ao avaliar em x=5/4-\varepsilon vem \ln|4(5/4-\varepsilon)-5|=\ln(4\varepsilon)\to-\infty. Portanto esse limite é -\infty, logo diverge.

Resposta

A integral diverge.

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