Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Trata‐se de um caso de limite infinito no intervalo de integração. Para decidir se ela converge ou diverge, vamos escrever
\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx =\lim_{A\to+\infty}\int_{1}^{A}\frac{\ln x}{x}\,dx.

Passo 2

Para obter a integral indefinida de \frac{\ln x}{x}, fazemos a substituição u=\ln x. Então du=\frac{1}{x}dx. Assim,
\int\frac{\ln x}{x}\,dx =\int u\,du =\frac{u^{2}}{2}+C =\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C.

Passo 3

Agora avaliamos o resultado como integral definida de 1 até A:
\int_{1}^{A}\frac{\ln x}{x}\,dx =\left[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\right]_{1}^{A} =\frac{(\ln A)^{2}}{2}-\frac{(\ln 1)^{2}}{2} =\frac{(\ln A)^{2}}{2},
pois \ln 1=0.

Passo 4

Tomamos o limite quando A\to+\infty:
\lim_{A\to+\infty}\frac{(\ln A)^{2}}{2} =+\infty.
Como esse limite é infinito, a área sob a curva cresce sem limite.

Resposta

A integral diverge.

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