Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx
é convergente ou divergente e, caso seja convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias sobre intervalo infinito e uso de propriedades de funções ímpares.

Passo 2

Note que o integrando
f(x)=x\,e^{-x^{2}}
é uma função ímpar, pois
f(-x)=(-x)\,e^{-(-x)^{2}}=-x\,e^{-x^{2}}=-f(x).
Para integrais simétricas em torno de zero, se as integrais de cada metade convergem, vale
\int_{-A}^{A}f(x)\,dx = 0.
Resta verificar a convergência de cada uma das integrais impróprias \displaystyle \int_{0}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx e \displaystyle \int_{-\infty}^{0} x\,e^{-x^{2}}\,dx.

Passo 3

Vamos testar a convergência de
\int_{0}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx
por substituição. Defina
t = x^{2},\quad dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,dt.
Quando x vai de 0 a \infty, t vai de 0 a \infty. Assim,
\int_{0}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,\frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2}.
Logo essa integral converge.

Passo 4

Pela imparidade,
\int_{-\infty}^{0} x\,e^{-x^{2}}\,dx = -\int_{0}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx = -\tfrac12.
Como ambas as partes convergem, a integral total converge e vale
\int_{-\infty}^{+\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx = \int_{-\infty}^{0} x\,e^{-x^{2}}\,dx + \int_{0}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,dx = -\tfrac12 + \tfrac12 = 0.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 0.

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