Determine a expressão geral das soluções e o comportamento das mesmas no infinito calculando
.
Passo 1
A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem:
. O conteúdo é o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral (soma da homogênea e de uma particular) e depois analisar o comportamento quando
.
Passo 2
Começamos encontrando a solução da homogênea associada:
. Isso é separável ou usa fator integrante. A solução geral homogênea é
com
constante arbitrária.
Passo 3
Agora achamos uma solução particular para a parte polinomial
. Assumimos
. Então
e substituindo na equação:
Agrupando termos em
e constantes:
Igualando coeficientes:
dá
, e
dá
. Logo
Passo 4
Em seguida, resolvemos para a parte exponencial
. Assumimos
. Então
e substituindo:
Logo
e
Passo 5
A solução geral é a soma das três partes:
Passo 6
Para o comportamento em
, note que
e
, mas
. Portanto
Resposta
A solução geral é
e
.