Determine a expressão geral das soluções e o comportamento das mesmas no infinito calculando lim x infty y(x).
y^prime+3 y=x+e^-2 x

Passo 1

A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem: y'+3y=x+e^-2x. O conteúdo é o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral (soma da homogênea e de uma particular) e depois analisar o comportamento quando xtoinfty.

Passo 2

Começamos encontrando a solução da homogênea associada: y'+3y=0. Isso é separável ou usa fator integrante. A solução geral homogênea é
yh(x)=C e^-3x
com C constante arbitrária.

Passo 3

Agora achamos uma solução particular para a parte polinomial x. Assumimos yp1(x)=Ax+B. Então y'p1=A e substituindo na equação:
A+3(Ax+B)=x
Agrupando termos em x e constantes:
(3A)x+(A+3B)=1cdot x+0
Igualando coeficientes: 3A=1 A=1/3, e A+3B=0 B=-1/9. Logo
yp1(x)=13x-19

Passo 4

Em seguida, resolvemos para a parte exponencial e^-2x. Assumimos yp2(x)=D e^-2x. Então y'p2=-2D e^-2x e substituindo:
(-2D+3D)e^-2x=D e^-2x=e^-2x
Logo D=1 e
yp2(x)=e^-2x

Passo 5

A solução geral é a soma das três partes:
y(x)=yh+yp1+yp2=C e^-3x+13x-19+e^-2x

Passo 6

Para o comportamento em xtoinfty, note que e^-3xto0 e e^-2xto0, mas tfrac13xto+infty. Portanto
limxtoinftyy(x)=+infty

Resposta

A solução geral é y(x)=C e^-3x+tfrac13x-tfrac19+e^-2x e limxtoinftyy(x)=+infty.

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