Determine se cada integral é convergente ou divergente, e calcule a integral convergente.
integral0^infty d x(1+x) raizx

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral0^inftydx(1+x)raizx
e, se convergente, calcular seu valor. Aqui vamos usar análise de comportamento em xto0 e xtoinfty e depois fazer uma substituição para efetuar o cálculo.

Passo 2

Verificação em xto0: para x pequeno temos
1(1+x)raizxsim x^-1/2
Como
integral0^cx^-1/2,dx =2,x^1/2|0^c =2raizc<infty,
a integral converge na vizinhança de 0.

Passo 3

Verificação em xtoinfty: para x grande
1(1+x)raizxsim x^-3/2
E
integralM^inftyx^-3/2,dx =l[-2x^-1/2r]M^infty =2M^-1/2<infty,
logo converge em +infty. Portanto a integral é convergente.

Passo 4

Cálculo do valor: faça x=t^2, então dx=2t,dt e raizx=t. A integrandede torna
dx(1+x)raizx =2t,dt(1+t^2),t =2,dt1+t^2
Os limites vão de t=0 a ttoinfty, então
integral0^inftydx(1+x)raizx =integral0^infty2,dt1+t^2 =2l[arctan tr]0^infty =2l(pi2-0r) =pi

Resposta

A integral converge e vale pi.

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