Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
41. Ellipse, center (-1,4), vertex (-1,0), focus (-1,6)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse de centro (-1,4), vértice em (-1,0) e foco em (-1,6). Como o vértice e o foco têm mesma abscissa -1 e abscissas são fixas, o eixo maior é vertical. Vamos usar a forma padrão
(x-h)^2b^2 ;+;(y-k)^2a^2 ;=;1
com (h,k)=(-1,4) e a>b, além da relação
c^2 ;=;a^2 - b^2

Passo 2

Calculamos a como a distância do centro ao vértice:
a = distl((-1,4),(-1,0)r) = raiz( -1 +1 )^2 + (4-0)^2 = 4
Calculamos c como a distância do centro ao foco:
c = distl((-1,4),(-1,6)r) = raiz( -1 +1 )^2 + (4-6)^2 = 2

Passo 3

Usamos c^2 = a^2 - b^2 para achar b^2:
b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 4 = 12

Passo 4

Substituindo h=-1, k=4, a^2=16 e b^2=12 na forma padrão com eixo maior vertical, obtemos
(x+1)^212 ;+;(y-4)^216 ;=;1

Resposta

(x+1)^212 ;+;(y-4)^216 ;=;1

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