Determine se cada integral é convergente ou divergente, e calcule a integral convergente.
  • integral1^infty e^-raizxraizx d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral1^inftye^-raizxraizx,d x
e, caso ela seja convergente, calcular seu valor.
Aqui o que vamos usar é uma substituição de variável que simplifica o expoente e mostra imediatamente a convergência exponencial.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
x = t^2, d x = 2t,d t, raizx=t
Substituindo na integral, os fatores de t se simplificam:
integral1^inftye^-raizxraizx,d x =integralt=1^t=inftye^-ttcdot 2t,d t =2integral1^inftye^-t,d t

Passo 3

A integral
integral1^inftye^-t,d t
é clássica e converge pois e^-t decresce exponencialmente. Calculando:
2integral1^inftye^-t,d t =2l[-e^-tr]1^infty =2l(0-(-e^-1)r) =2e^-1

Resposta

A integral é convergente e vale 2e

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