Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(f) integral0^+infty x1+x^4 d x
(q) integral0^infty 1(2 x+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar duas integrais impróprias, ver se cada uma converge ou diverge e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de integrais impróprias (p-test e comportamento nos limites) e uso de substituições para calcular valores.

Passo 2

Analisando a integral (f) integral0^+infty x1+x^4,dx: primeiro verificamos se há problemas em x=0 e em xto+infty. Próximo passo é usar uma substituição adequada para efetuar o cálculo.
Para a convergência em x=0, note que x1+x^4sim x quando xto0, e integral0!x,dx converge. Para xto+infty, temos x1+x^4sim x^-3, e como integral^infty x^-3,dx converge (p-test com p=3>1), a integral é convergente.

Passo 3

Para calcular (f), faça a substituição u=x^2. Então du=2x,dx, ou seja, x,dx=tfrac12,du. A integral fica:

Passo 4

Agora a integral (q) integral0^infty 1(2x+1)^3,dx. Primeiro checamos convergência para xto+infty e em x=0.
Em x=0 não há problema (o denominador é 1^3neq0). Para xto+infty, a função comporta-se como (2x)^-3=2^-3x^-3, e integral^infty x^-3,dx converge pelo p-test com p=3>1. Portanto, a integral converge.

Passo 5

Para calcular (q), use a substituição u=2x+1, então du=2,dx e dx=tfrac12,du. Os limites vão de u(0)=1 a u(infty)=+infty. Assim:

Resposta

Para (f) a integral converge e vale pi/4. Para (q) a integral converge e vale 1/4.

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