Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(f)
(q)
(f)
(q)
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar duas integrais impróprias, ver se cada uma converge ou diverge e, se convergente, calcular seu valor. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de integrais impróprias (p-test e comportamento nos limites) e uso de substituições para calcular valores.
Passo 2
Analisando a integral (f)
: primeiro verificamos se há problemas em
e em
. Próximo passo é usar uma substituição adequada para efetuar o cálculo.
Para a convergência em , note que
quando
, e
converge. Para
, temos
, e como
converge (p-test com
), a integral é convergente.
Para a convergência em
Passo 3
Para calcular (f), faça a substituição
. Então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 4
Agora a integral (q)
. Primeiro checamos convergência para
e em
.
Em não há problema (o denominador é
). Para
, a função comporta-se como
, e
converge pelo p-test com
. Portanto, a integral converge.
Em
Passo 5
Para calcular (q), use a substituição
, então
e
. Os limites vão de
a
. Assim:
Resposta
Para (f) a integral converge e vale
. Para (q) a integral converge e vale
.