Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(t)
(b1)
(t)
(b1)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência de duas integrais impróprias e calcular aquelas que convergem. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais com limites infinitos ou singularidades no intervalo de integração e uso de técnicas como comparação, substituição trigonométrica e integração por partes.
Passo 2
Analisando a integral (t)
: há impropriedade em
(denominador zero) e no limite
. Usamos a substituição
, de onde
e
. Assim
$$\n\int_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x2-1}},dx=\int_{0}{\pi/2}\frac{\sec\theta}{\tan\theta}\cdot\sec\theta\tan\theta,d\theta=\int_{0}{\pi/2}\sec2\theta,d\theta=\tan\theta\Big|_0^{\pi/2}=\infty,.
$$
Passo 3
Como o resultado é infinito, a integral (t) diverge.
Passo 4
Analisando a integral (b1)
: aplicamos integração por partes, escolhendo
,
, logo
e
. Obtemos
$$\n\int z e^{2z}dz=\frac{z e^{2z}}{2}-\frac{1}{2}\int e^{2z}dz=\frac{z e{2z}}{2}-\frac{e{2z}}{4}+C,.
$$
Passo 5
Avaliando de
até
e tomando
, os termos em
tendem a zero, ficando
$$\n\lim_{a\to-\infty}\Big[\frac{z e{2z}}{2}-\frac{e{2z}}{4}\Big]_{z=a}^{0}=\Big(0-\tfrac{1}{4}\Big)-0=-\tfrac{1}{4},.
$$
Passo 6
Portanto, a integral (b1) converge e seu valor é
.
Resposta
(t) Divergente; (b1) Convergente, igual a
.