Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(t) integral1^infty xraizx^2-1 d x
(b1) integral-infty^0 z e^2 z d z

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência de duas integrais impróprias e calcular aquelas que convergem. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais com limites infinitos ou singularidades no intervalo de integração e uso de técnicas como comparação, substituição trigonométrica e integração por partes.

Passo 2

Analisando a integral (t) integral1^infty xraizx^2-1,dx: há impropriedade em x=1 (denominador zero) e no limite xtoinfty. Usamos a substituição x=sectheta, de onde dx=secthetatantheta,dtheta e raizx^2-1=tantheta. Assim
$$\n\int_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x2-1}},dx=\int_{0}{\pi/2}\frac{\sec\theta}{\tan\theta}\cdot\sec\theta\tan\theta,d\theta=\int_{0}{\pi/2}\sec2\theta,d\theta=\tan\theta\Big|_0^{\pi/2}=\infty,.
$$

Passo 3

Como o resultado é infinito, a integral (t) diverge.

Passo 4

Analisando a integral (b1) integral-infty^0 z e^2z,dz: aplicamos integração por partes, escolhendo u=z, dv=e^2zdz, logo du=dz e v=tfrace^2z2. Obtemos
$$\n\int z e^{2z}dz=\frac{z e^{2z}}{2}-\frac{1}{2}\int e^{2z}dz=\frac{z e{2z}}{2}-\frac{e{2z}}{4}+C,.
$$

Passo 5

Avaliando de a até 0 e tomando ato-infty, os termos em e^2a tendem a zero, ficando
$$\n\lim_{a\to-\infty}\Big[\frac{z e{2z}}{2}-\frac{e{2z}}{4}\Big]_{z=a}^{0}=\Big(0-\tfrac{1}{4}\Big)-0=-\tfrac{1}{4},.
$$

Passo 6

Portanto, a integral (b1) converge e seu valor é -tfrac14.

Resposta

(t) Divergente; (b1) Convergente, igual a -tfrac14.

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