Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
C: x^3+y^3=1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva plana definida implicitamente por x^3+y^3=1. O conteúdo aqui é parametrizar uma curva dada por uma equação implícita de nível, e vamos usar a ideia de reescrever as coordenadas em função de um parâmetro que seja a razão entre y e x.

Passo 2

Introdução de parâmetro: definimos t=yx, ou seja, y=tx. Essa escolha vem do fato de que todo ponto da curva (exceto aqueles em que x=0) pode ser visto como pertencente a uma reta de inclinação t saindo da origem.

Passo 3

Substituição e resolução: substituindo y=tx em x^3+y^3=1 obtemos
x^3 + (tx)^3 = 1 x^3(1+t^3)=1
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x(t)=1raiz[3]1+t^3
Em seguida
y(t)=t,x(t)=traiz[3]1+t^3

Passo 4

Verificação de diferenciabilidade e alcance: as funções x(t) e y(t) são composições de funções polinomiais e da raiz cúbica, logo são C^infty no domínio onde 1+t^3neq0. O valor t=-1 não corresponde a nenhum ponto da curva, pois não existe x que satisfaça x^3(1+(-1)^3)=1. Para tto+infty obtemos o ponto (0,1), cobrindo assim toda a curva.

Passo 5

Observação final: essa parametrização cobre todos os pontos de C exatamente uma vez e é diferenciável em seu domínio de definição.

Resposta

x(t)=1raiz[3]1+t^3, y(t)=traiz[3]1+t^3, tinRsetminus-1

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