Apresente uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas planas:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a curva plana definida implicitamente por
. O conteúdo aqui é parametrizar uma curva dada por uma equação implícita de nível, e vamos usar a ideia de reescrever as coordenadas em função de um parâmetro que seja a razão entre
e
.
Passo 2
Introdução de parâmetro: definimos
, ou seja,
. Essa escolha vem do fato de que todo ponto da curva (exceto aqueles em que
) pode ser visto como pertencente a uma reta de inclinação
saindo da origem.
Passo 3
Substituição e resolução: substituindo
em
obtemos
logo
Em seguida
Passo 4
Verificação de diferenciabilidade e alcance: as funções
e
são composições de funções polinomiais e da raiz cúbica, logo são
no domínio onde
. O valor
não corresponde a nenhum ponto da curva, pois não existe
que satisfaça
. Para
obtemos o ponto
, cobrindo assim toda a curva.
Passo 5
Observação final: essa parametrização cobre todos os pontos de
exatamente uma vez e é diferenciável em seu domínio de definição.