Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(a)
(1)
(w)
(a)
(1)
(w)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se cada uma dessas integrais é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também calcula o valor dela. Vamos trabalhar com integrais impróprias, que aparecem quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem alguma descontinuidade no intervalo.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Aqui, o limite superior é
, então essa é uma integral imprópria por causa do infinito.
Passo 3
Para determinar a convergência, vamos calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito. A gente sabe que:
Passo 4
Vamos integrar:
Fazendo a substituição
,
, a gente tem:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite:
Como o limite é finito, a integral é convergente.
Passo 6
Vamos para a segunda integral:
Aqui, o problema é que no ponto
, a função
não está definida, então temos uma descontinuidade. Por isso, é uma integral imprópria.
Passo 7
Para verificar a convergência, vamos dividir a integral em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 8
Primeira parte:
A função $ \frac{1}{x^{4}} $ é simétrica em relação a
, então essa integral é igual a:
Integrando:
Avaliando o limite:
Como o limite é infinito, a integral diverge.
Passo 9
Já que uma das partes diverge, a integral total também diverge.
Passo 10
Por fim, a terceira integral:
Aqui, o limite inferior é
, então é uma integral imprópria por causa do infinito.
Passo 11
Vamos calcular o limite quando o limite inferior tende a
:
Integrando:
Avaliando o limite:
Como o limite é finito, a integral é convergente.
Resposta
- A integral (a) é convergente e seu valor é
. - A integral (1) é divergente.
- A integral (w) é convergente e seu valor é
.