Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(a) integral3^+infty 1(x-2)^32 d x
(1) integral-2^3 1x^4 d x
(w) integral-infty^0 e^x / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se cada uma dessas integrais é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também calcula o valor dela. Vamos trabalhar com integrais impróprias, que aparecem quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem alguma descontinuidade no intervalo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral3^+infty 1(x-2)^32 , dx
Aqui, o limite superior é +infty, então essa é uma integral imprópria por causa do infinito.

Passo 3

Para determinar a convergência, vamos calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito. A gente sabe que:
integrala^+infty f(x) , dx conver>= se limb to +infty integrala^b f(x) , dx existe e é finito é

Passo 4

Vamos integrar:
integral 1(x-2)^32 , dx
Fazendo a substituição u = x - 2, du = dx, a gente tem:
integral u^-32 , du = u^-12-12 + C = -2u^-12 + C = -2raizu + C = -2raizx - 2 + C

Passo 5

Agora, avaliamos o limite:
limb to +infty [ -2raizb - 2 + 2raiz3 - 2 ] = limb to +infty ( -2raizb - 2 + 2 ) = 0 + 2 = 2
Como o limite é finito, a integral é convergente.

Passo 6

Vamos para a segunda integral:
integral-2^3 1x^4 , dx
Aqui, o problema é que no ponto x = 0, a função 1x^4 não está definida, então temos uma descontinuidade. Por isso, é uma integral imprópria.

Passo 7

Para verificar a convergência, vamos dividir a integral em duas partes:
integral-2^0 1x^4 , dx + integral0^3 1x^4 , dx
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 8

Primeira parte:
integral-2^0 1x^4 , dx
A função $ \frac{1}{x^{4}} $ é simétrica em relação a 1x^4 , então essa integral é igual a:
x
Integrando:
integral0^2 1x^4 , dx
Avaliando o limite:
integral x^-4 , dx = x^-3-3 + C = -13x^3 + C
Como o limite é infinito, a integral diverge.

Passo 9

Já que uma das partes diverge, a integral total também diverge.

Passo 10

Por fim, a terceira integral:
integral-infty^0 e^x / 2 , dx
Aqui, o limite inferior é -infty, então é uma integral imprópria por causa do infinito.

Passo 11

Vamos calcular o limite quando o limite inferior tende a -infty:
lima to -infty integrala^0 e^x / 2 , dx
Integrando:
integral e^x / 2 , dx = 2 e^x / 2 + C
Avaliando o limite:
lima to -infty [ 2 e^0 - 2 e^a / 2 ] = 2 - 2 cdot 0 = 2
Como o limite é finito, a integral é convergente.

Resposta

  • A integral (a) é convergente e seu valor é 2.
  • A integral (1) é divergente.
  • A integral (w) é convergente e seu valor é 2.

Exercícios relacionados