Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{0} z e^{2 z} d z

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} z e^{2z}\,dz
e, se convergente, calcular o seu valor. O conteúdo envolvido é cálculo de integral imprópria de tipo infinito e uso de integração por partes para encontrar a primitiva de z e^{2z}.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral de limite inferior finito:
\int_{-\infty}^{0} z e^{2z}\,dz =\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} z e^{2z}\,dz.

Passo 3

Para obter a primitiva de z e^{2z}, fazemos integração por partes com
u = z,\quad dv = e^{2z}\,dz,
então
du = dz, \quad v = \frac{1}{2}e^{2z}.
Logo,
\int z e^{2z}\,dz = u\,v - \int v\,du = \frac{z}{2}e^{2z} - \int \frac{1}{2}e^{2z}\,dz = \frac{z}{2}e^{2z} - \frac{1}{4}e^{2z} + C = e^{2z}\Bigl(\frac{z}{2}-\frac{1}{4}\Bigr)+C.

Passo 4

Usando essa primitiva, avaliamos de z=a até z=0:
\int_{a}^{0} z e^{2z}\,dz = e^{2z}\Bigl(\frac{z}{2}-\frac{1}{4}\Bigr)\Big|_{z=a}^{z=0} = \Bigl[e^{0}\Bigl(\frac{0}{2}-\frac{1}{4}\Bigr)\Bigr] - \Bigl[e^{2a}\Bigl(\frac{a}{2}-\frac{1}{4}\Bigr)\Bigr] = -\frac{1}{4} - e^{2a}\Bigl(\frac{a}{2}-\frac{1}{4}\Bigr).

Passo 5

Analisamos o limite quando a\to -\infty. Sabemos que e^{2a} vai a zero mais rápido do que a cresce em módulo, logo
\lim_{a\to -\infty}e^{2a}\Bigl(\frac{a}{2}-\frac{1}{4}\Bigr)=0.
Portanto
\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} z e^{2z}\,dz =-\frac{1}{4}.
Isso mostra que a integral converge e seu valor é -\tfrac{1}{4}.

Resposta

A integral é convergente e vale -\tfrac{1}{4}.

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