Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{\infty} \cos \pi t d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \cos(\pi t)\,dt
é convergente ou divergente. Aqui estamos tratando de uma integral em domínio não limitado, então devemos verificar a convergência em cada semi--eixo, isto é, estudar
\int_{-\infty}^{0}\cos(\pi t)\,dt \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\infty}\cos(\pi t)\,dt.
Se qualquer uma delas divergir, a integral total diverge.

Passo 2

Calculemos a primitiva de \cos(\pi t). Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl[\tfrac{1}{\pi}\sin(\pi t)\bigr] = \cos(\pi t).
Logo, para b>0,
\int_{0}^{b}\cos(\pi t)\,dt = \bigl[\tfrac{1}{\pi}\sin(\pi t)\bigr]_{0}^{b} = \frac{1}{\pi}\bigl(\sin(\pi b)-\sin(0)\bigr) = \frac{1}{\pi}\sin(\pi b).

Passo 3

Para decidir se \displaystyle\int_{0}^{\infty}\cos(\pi t)\,dt converge, analisamos
\lim_{b\to\infty}\frac{1}{\pi}\sin(\pi b).
Porém \sin(\pi b) oscila entre -1 e 1 sem limite quando b\to\infty. Logo esse limite não existe e, portanto,
\int_{0}^{\infty}\cos(\pi t)\,dt
é divergente.

Passo 4

Como a integral sobre [0,\infty) já diverge, não há necessidade de estudar também (-\infty,0]: basta um dos dois ramos divergir para que
\int_{-\infty}^{\infty}\cos(\pi t)\,dt
seja divergente.

Resposta

A integral diverge.

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