Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{\infty} \cos \pi t d t
\int_{-\infty}^{\infty} \cos \pi t d t
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Aqui estamos tratando de uma integral em domínio não limitado, então devemos verificar a convergência em cada semi--eixo, isto é, estudar
Se qualquer uma delas divergir, a integral total diverge.
Passo 2
Calculemos a primitiva de
. Sabemos que
Logo, para
,
Passo 3
Para decidir se
converge, analisamos
Porém
oscila entre
e
sem limite quando
. Logo esse limite não existe e, portanto,
é divergente.
Passo 4
Como a integral sobre
já diverge, não há necessidade de estudar também
: basta um dos dois ramos divergir para que
seja divergente.
Resposta
A integral diverge.