Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{2}^{\infty} e^{-5 p} d p

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} e^{-5p}\,dp
que envolve um decaimento exponencial. Vamos usar a definição de integral imprópria e conferir se converge, calculando o valor quando convergir.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
\int_{2}^{\infty} e^{-5p}\,dp = \lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b} e^{-5p}\,dp.

Passo 3

Calculamos a primitiva de e^{-5p}. Sabemos que
\int e^{-5p}\,dp = -\frac{1}{5}e^{-5p} + C.

Passo 4

Avaliamo-la entre p=2 e p=b, depois tomamos b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{5}e^{-5p}\right]_{p=2}^{p=b} = \lim_{b\to\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{5}e^{-5b} + \tfrac{1}{5}e^{-10}\Bigr).
Como \lim_{b\to\infty}e^{-5b}=0, sobra
\frac{1}{5}e^{-10}.
Logo a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e vale
\frac{e^{-10}}{5}.

Exercícios relacionados