Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y} d y

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
\int_{2}^{\infty}y\,e^{-3y}\,dy
e, caso ela converja, calcular o seu valor. Para isso vamos usar a definição de integral imprópria, a técnica de integração por partes e o cálculo de limites.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
\int_{2}^{\infty}y\,e^{-3y}\,dy =\lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b}y\,e^{-3y}\,dy.

Passo 3

Calculamos a primitiva por partes. Tomamos
u=y e dv=e^{-3y}dy, de modo que
du=dy e v=-\tfrac{1}{3}e^{-3y}.
Logo,
\int y\,e^{-3y}\,dy =uv-\int v\,du =-\frac{y}{3}e^{-3y}+\frac{1}{3}\int e^{-3y}\,dy =-\frac{y}{3}e^{-3y}-\frac{1}{9}e^{-3y}+C =-\frac{1}{9}(3y+1)e^{-3y}+C.

Passo 4

Avaliamo a integral definida de 2 a b:
\int_{2}^{b}y\,e^{-3y}\,dy =\Bigl[-\tfrac{1}{9}(3y+1)e^{-3y}\Bigr]_{2}^{b} =-\tfrac{1}{9}(3b+1)e^{-3b} - \Bigl(-\tfrac{1}{9}(3\cdot2+1)e^{-6}\Bigr).
Como b\to\infty, o termo \frac{1}{9}(3b+1)e^{-3b}\to0 (a exponencial domina o polinômio). Assim,
\lim_{b\to\infty}\int_{2}^{b}y\,e^{-3y}\,dy =\frac{1}{9}(3\cdot2+1)e^{-6} =\frac{7}{9}e^{-6}.

Passo 5

O limite existe e é finito, portanto a integral converge e seu valor é \tfrac{7}{9}e^{-6}.

Resposta

A integral é convergente e
\int_{2}^{\infty}y\,e^{-3y}\,dy = \frac{7}{9}e^{-6}.

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