Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y} d y
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y} d y
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
e, caso ela converja, calcular o seu valor. Para isso vamos usar a definição de integral imprópria, a técnica de integração por partes e o cálculo de limites.
Passo 2
Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
Passo 3
Calculamos a primitiva por partes. Tomamos
e
, de modo que
e
.
Logo,
Logo,
Passo 4
Avaliamo a integral definida de
a
:
Como
, o termo
(a exponencial domina o polinômio). Assim,
Passo 5
O limite existe e é finito, portanto a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral é convergente e