Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2}-5 x+6} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{2}\frac{x}{x^{2}-5x+6}\,dx
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular seu valor. Informações relevantes dadas pelo enunciado e observações imediatas:
  • A função integranda é \dfrac{x}{x^{2}-5x+6}.
  • O denominador fatoriza como (x-2)(x-3).
  • Os zeros do denominador são x=2 e x=3.
  • O intervalo de integração é [0,2], portanto x=2 é um ponto no extremo direito do intervalo onde o denominador se anula — isso indica que a integral é imprópria (há uma singularidade no limite da integração).

Passo 2

Quando a integranda tem singularidade em um extremo do intervalo, definimos a integral imprópria por um limite. Aqui temos singularidade em x=2 (à direita do intervalo), então reescrevemos
\int_{0}^{2}\frac{x}{x^{2}-5x+6}\,dx = \lim_{t\to 2^-}\int_{0}^{t}\frac{x}{x^{2}-5x+6}\,dx.
Nossa tarefa é estudar esse limite: se existir finito, a integral converge; se o limite for \pm\infty ou não existir, a integral diverge.

Passo 3

Para integrar a função vamos decompor em frações parciais. Escrevemos
\frac{x}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3) obtemos
x = A(x-3)+B(x-2).
Agora igualamos coeficientes em x e termo constante. Expandindo:
x = (A+B)x + (-3A-2B).
Comparando coeficientes:
  • coeficiente de x: A+B=1,
  • termo constante: -3A-2B=0.
Resolvendo o sistema: da segunda equação vem 3A+2B=0, então B=-\dfrac{3}{2}A. Substituindo na primeira:
A - \frac{3}{2}A = 1 \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2}A=1 \quad\Rightarrow\quad A=-2.
Então B=-\dfrac{3}{2}(-2)=3. Portanto
\frac{x}{(x-2)(x-3)} = -\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}.

Passo 4

Integramos a decomposição termo a termo. Uma primitiva é
\int\left(-\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}\right)dx = -2\ln|x-2|+3\ln|x-3| + C.
Definimos a função primitiva
F(x) = -2\ln|x-2|+3\ln|x-3|.
Então, para 0\le t<2,
\int_{0}^{t}\frac{x}{x^{2}-5x+6}\,dx = F(t)-F(0).
Calculemos F(0):
F(0) = -2\ln|0-2| + 3\ln|0-3| = -2\ln 2 + 3\ln 3.

Passo 5

Agora analisamos o limite quando t\to 2^-:
\lim_{t\to 2^-}\big(F(t)-F(0)\big) = \lim_{t\to 2^-}\big(-2\ln|t-2|+3\ln|t-3|\big) - F(0).
Observe os comportamentos individuais quando t\to 2^-:
  • |t-2|\to 0^+ então \ln|t-2|\to -\infty. Multiplicando por -2 -2\ln|t-2|\to +\infty.
  • |t-3|\to 1 então \ln|t-3|\to \ln 1 = 0, e 3\ln|t-3|\to 0.
Assim o termo -2\ln|t-2| domina e tende para +\infty, enquanto o outro termo tende para 0. Portanto
\lim_{t\to 2^-}\int_{0}^{t}\frac{x}{x^{2}-5x+6}\,dx = +\infty.
Isso significa que a integral imprópria não converge a um número finito; ela diverge (especificamente diverge para +\infty).

Resposta

Divergente — a integral diverge para +\infty.

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