Determine se cada integral é convergente ou divergente e calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular seu valor. Informações relevantes dadas pelo enunciado e observações imediatas:
- A função integranda é
. - O denominador fatoriza como
. - Os zeros do denominador são
e . - O intervalo de integração é
, portanto é um ponto no extremo direito do intervalo onde o denominador se anula — isso indica que a integral é imprópria (há uma singularidade no limite da integração).
Passo 2
Quando a integranda tem singularidade em um extremo do intervalo, definimos a integral imprópria por um limite. Aqui temos singularidade em
(à direita do intervalo), então reescrevemos
Nossa tarefa é estudar esse limite: se existir finito, a integral converge; se o limite for
ou não existir, a integral diverge.
Passo 3
Para integrar a função vamos decompor em frações parciais. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora igualamos coeficientes em
e termo constante. Expandindo:
Comparando coeficientes:
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Resolvendo o sistema: da segunda equação vem
, então
. Substituindo na primeira:
Então
. Portanto
Passo 4
Integramos a decomposição termo a termo. Uma primitiva é
Definimos a função primitiva
Então, para
,
Calculemos
:
Passo 5
Agora analisamos o limite quando
:
Observe os comportamentos individuais quando
:
-
então . Multiplicando por dá . -
então , e .
Assim o termo
domina e tende para
, enquanto o outro termo tende para
. Portanto
Isso significa que a integral imprópria não converge a um número finito; ela diverge (especificamente diverge para
).
Resposta
Divergente — a integral diverge para
.