Determine a solução da equação de Euler.
x^2 y^prime prime-4 x y^prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler x^2y'' - 4x y' - 6y = 0. O conteúdo é ODE de Cauchy–Euler, e vamos precisar usar o método de tentar uma solução da forma y = x^m e obter a equação característica.

Passo 2

Substituímos y = x^m na ODE. Calculamos y' = m x^m-1 e y'' = m(m-1)x^m-2. Então
x^2l(m(m-1)x^m-2r) - 4xl(m x^m-1r) - 6 x^m = 0

Passo 3

Simplificando cada termo:
m(m-1)x^m - 4m x^m - 6 x^m = 0

Passo 4

Fatorando x^m (não nulo para xneq0), obtemos a equação característica:
m(m-1) - 4m - 6 = 0 Longrightarrow m^2 - 5m - 6 = 0

Passo 5

Resolvendo o trinômio m^2 - 5m - 6 = 0 pelas fórmulas de Bhaskara:
m = 5 pm raiz25 + 242 = 5 pm 72,
logo as raízes são m1 = 6 e m2 = -1.

Passo 6

Como são raízes reais distintas, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais x^m1 e x^m2:

Resposta

y(x) = C1x^6 + C2x^-1, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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