Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^1 1raiz1-x d x

Passo 1

Queremos saber se a integral integral0^11raiz1-x,dx converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. O conteúdo envolvido são integrais impróprias com singularidade no limite de integração.

Passo 2

Observamos que tfrac1raiz1-x fica infinita quando xto1^-. Assim, reescrevemos a integral como limite:

Passo 3

Para calcular integral0^b1raiz1-x,dx, usamos a substituição u=1-x. Então du=-dx, e os limites ficam de u(0)=1 até u(b)=1-b. A integral vira

A primitiva de nintegral0^b1raiz1-x,dx = integral1^1-bu^-1/2(-du) = integral1-b^1u^-1/2,du é u^-1/2.

Passo 4

Aplicamos os limites e depois o limite bto1^-:

Portanto, a integral converge e seu valor é 2.

Resposta

A integral converge e vale 2.

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