Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^infty 1v^2+2 v-3 d v

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria integral0^infty1v^2+2v-3,dv. O conteúdo envolvido é análise de integrais impróprias: precisamos achar pontos de singularidade do integrando e estudar o comportamento da integral nesses pontos e no infinito.

Passo 2

Para encontrar onde o integrando fica indefinido, resolvemos v^2+2v-3=0. Temos
v^2+2v-3=(v-1)(v+3)=0
logo as raízes são v=1 e v=-3. Dessas, apenas v=1 pertence ao intervalo de integração [0,infty), indicando uma descontinuidade no ponto v=1.

Passo 3

Por causa dessa singularidade, quebramos a integral em duas partes impróprias:
integral0^inftydvv^2+2v-3=limbto1^-integral0^bdv(v-1)(v+3)+limato1^+integrala^inftydv(v-1)(v+3)

Passo 4

Para ver se alguma dessas partes converge, calculamos a primitiva por frações parciais. Escrevemos
1(v-1)(v+3)=Av-1+Bv+3

Passo 5

Resolvendo, achamos A=tfrac14 e B=-tfrac14. Assim,
integraldvv^2+2v-3=14lnl|v-1r| - 14lnl|v+3r| + C

Passo 6

Agora basta olhar o limite quando vto1^- ou vto1^+. Por exemplo, ao aproximar v de 1 pela esquerda, ln|v-1|to-infty, o que faz a integral divergir. O mesmo vale para vto1^+.

Resposta

A integral é divergente.

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