Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f. Sugestão. Utilize o exercício C 1
(a) f(x, y)=x^4 y-2 x^3 y^2.

Passo 1

A função dada é f(x, y) = x⁴y − 2x³y². O conteúdo aqui é derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, precisamos primeiro achar as parcelas parciais de primeira ordem usando a definição (exercício C1) e depois derivar novamente essas expressões em relação a x e y.

Passo 2

Para calcular ∂f/∂x tratamos y como constante. Assim,
partial fpartial x = partialpartial x(x^4y) - 2partialpartial x(x^3y^2)
Derivando cada termo:
partialpartial x(x^4y)=4x^3y, partialpartial x(x^3y^2)=3x^2y^2
Logo,
partial fpartial x = 4x^3y - 2cdot 3x^2y^2 = 4x^3y - 6x^2y^2

Passo 3

Para calcular ∂f/∂y tratamos x como constante. Assim,
partial fpartial y = partialpartial y(x^4y) - 2partialpartial y(x^3y^2)
Derivando cada termo:
partialpartial y(x^4y)=x^4, partialpartial y(x^3y^2)=2x^3y
Logo,
partial fpartial y = x^4 - 2cdot 2x^3y = x^4 - 4x^3y

Passo 4

Agora obtemos as segundas derivadas a partir de ∂f/∂x:
partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(4x^3y - 6x^2y^2) = 12x^2y - 12xy^2,
partial^2 fpartial ypartial x = partialpartial y(4x^3y - 6x^2y^2) = 4x^3 - 12x^2y

Passo 5

E as segundas derivadas a partir de ∂f/∂y:
partial^2 fpartial xpartial y = partialpartial x(x^4 - 4x^3y) = 4x^3 - 12x^2y,
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(x^4 - 4x^3y) = -4x^3

Resposta

fxx(x,y) = 12x^2y - 12xy^2
fxy(x,y) = 4x^3 - 12x^2y
fyx(x,y) = 4x^3 - 12x^2y
fyy(x,y) = -4x^3

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