Seja
uma função diferenciável tal que
.
Se
, catcule
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de uma função composta usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Precisamos saber o valor do gradiente de
em
e as derivadas parciais das funções internas.
Passo 2
Definimos as funções internas
,
e
:
No ponto
obtemos
,
e
, que é justamente onde sabemos que
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
em
:
-
dá . -
dá . -
pois é constante. -
dá . -
dá .
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
em
e os valores das derivadas internas, obtemos:
Passo 5
Com isso, o gradiente procurado é formado por essas duas derivadas parciais.