Seja f(x, y, z) uma função diferenciável tal que nabla f(1,1, e^3)=(1,0,2).
Se G(u, v)=f((u+1) cos (v), 1, e^u+v+3), catcule nabla G(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de uma função composta usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é derivadas parciais e a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Precisamos saber o valor do gradiente de f em (1,1,e^3) e as derivadas parciais das funções internas.

Passo 2

Definimos as funções internas x(u,v), y(u,v) e z(u,v):
x(u,v)=(u+1)cos(v), y(u,v)=1, z(u,v)=e^u+v+3
No ponto (u,v)=(0,0) obtemos x(0,0)=1, y(0,0)=1 e z(0,0)=e^3, que é justamente onde sabemos que
nabla f(1,1,e^3)=(1,0,2).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de x,y,z em (0,0):
  • partial xpartial u=cos(v) cos(0)=1.
  • partial xpartial v=-(u+1)sin(v) -1cdot0=0.
  • partial ypartial u=partial ypartial v=0 pois y é constante.
  • partial zpartial u=e^u+v+3 e^3.
  • partial zpartial v=e^u+v+3 e^3.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
partial Gpartial u=fx,xu+fy,yu+fz,zu,
partial Gpartial v=fx,xv+fy,yv+fz,zv
Substituindo (fx,fy,fz)=(1,0,2) em (1,1,e^3) e os valores das derivadas internas, obtemos:
partial Gpartial u(0,0)=1cdot1+0cdot0+2cdot e^3=1+2e^3,
partial Gpartial v(0,0)=1cdot0+0cdot0+2cdot e^3=2e^3

Passo 5

Com isso, o gradiente procurado é formado por essas duas derivadas parciais.

Resposta

nabla G(0,0)=(1+2e^3,,2e^3)

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