Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^infty 1(2 x+1)^3 d x

Passo 1

Temos a integral imprópria
integral0^infty 1(2x+1)^3,dx
O conteúdo envolve integrais impróprias em intervalo infinito e cálculo de antiderivada via substituição linear.

Passo 2

Para testar convergência no infinito, note que para x grande temos
1(2x+1)^3sim 1(2x)^3=18x^3
Como a integral converge (p-integral com p=3>1), a nossa também converge. Não há singularidade em x=0, então a integral é convergente.

Passo 3

Agora calculamos a integral. Fazemos a substituição
u=2x+1, du=2,dx, dx=du2
Os limites viram x=0→u=1 e x→∞→u→∞. Assim:
integral0^infty 1(2x+1)^3,dx =12integral1^infty u^-3,du =12[u^-2-2]1^infty

Passo 4

Avaliando os limites:
12(0-1^-2-2) =12cdot12 =14
Portanto a integral converge e vale 1/4.

Resposta

Convergente, com valor 1/4.

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