Resolva as inequações.
x^{2}-3 x+2<0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação $ x^{2} - 3x + 2 < 0 $. Aqui, estamos lidando com uma inequação do segundo grau. Para solucionar, vamos precisar encontrar as raízes da equação associada $ x^{2} - 3x + 2 = 0 $ e depois analisar em quais intervalos essa expressão é negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação $ x^{2} - 3x + 2 = 0 $. Isso significa achar os valores de $ x $ que fazem essa equação valer zero. Para resolver, podemos fatorar o polinômio:
x^2 - 3x + 2 = 0
Então, as raízes são $ x = 1 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos usando essas raízes: $ (-\infty, 1) $, $ (1, 2) $ e $ (2, +\infty) $. Precisamos determinar em qual desses intervalos a expressão $ (x - 1)(x - 2) $ é menor que zero.

Passo 4

Vamos testar um número de cada intervalo na expressão:
  • Intervalo $ (-\infty, 1) $: Vamos usar $ x = 0 $.
    (-infty, 1)
    Não satisfaz a inequação.
  • Intervalo $ (1, 2) $: Vamos usar $ x = 1.5 $.
    x = 0
    Satisfaz a inequação.
  • Intervalo $ (2, +\infty) $: Vamos usar $ x = 3 $.
    (0 - 1)(0 - 2) = (-1)(-2) = 2 > 0
    Não satisfaz a inequação.

Resposta

A solução da inequação $ x^{2} - 3x + 2 < 0 $ é o intervalo $ 1 < x < 2 $.

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