Resolva as inequações.
x^{2}-5 x+6 \geq 0

Passo 1

A questão pede para resolver a inequação x^2 - 5x + 6 >= 0. Trata-se de uma inequação do segundo grau, e para resolvê-la vamos precisar fatorar o polinômio e estudar o sinal do produto obtido.

Passo 2

Para fatorar o polinômio, buscamos dois números que multiplicados dêem 6 e somados dêem â—5. Esses números são â—2 e â—3, então temos:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Passo 3

Da fatoração (x - 2)(x - 3), as raízes da função são x = 2 e x = 3. Esses valores dividem a reta real em três intervalos: (2,3), (3,infty) e x = 0. Vamos testar um ponto em cada intervalo para saber o sinal do produto:
  • Para (0-2)(0-3) = (-2)(-3) = +6 > 0 (intervalo x = 2.5): (2,3).
  • Para (2.5-2)(2.5-3) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0 (intervalo x = 4): (3,infty).
  • Para (4-2)(4-3) = (2)(1) = 2 > 0 (intervalo ): .

Passo 4

Como queremos (x - 2)(x - 3) >= 0, selecionamos os intervalos onde o produto é não-negativo e incluímos os pontos em que ele zera.

Resposta

x in (-infty,2] cup [3,infty)

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