Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^+infty x1+x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e calcular, se for convergente, a integral imprópria
integral0^+infty x1+x^4 , dx
O tema é integrais impróprias; vamos verificar os extremos do intervalo e, em seguida, usar uma substituição para o cálculo.

Passo 2

Analisando x to 0^+: o integrando se comporta como
x1+x^4 sim x,
e sabemos que integral0^de converge ( p=1>-1). Logo, não há singularidade no limite inferior.

Passo 3

Analisando x to +infty: para x grande,
x1+x^4 sim 1x^3,
e integralR^+infty x^-3 , dx converge ( p=3>1). Assim, não há divergência no limite superior. Concluímos que a integral é convergente.

Passo 4

Para calcular seu valor, usamos a substituição u = x^2. Então du = 2x,dx, ou seja x,dx = tfrac12,du. Assim,
integral0^+infty x1+x^4 , dx = 12 integral0^+infty 11+u^2 , du

Passo 5

A primitiva de 11+u^2 é arctan(u). Logo,
12 integral0^+infty 11+u^2 , du = 12 l[arctan(u)r]0^+infty = 12 l(tfracpi2 - 0r) = pi4

Resposta

A integral é convergente e vale tfracpi4.

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