Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^infty 2^-r d r

Passo 1

O exercício pede para analisar a integral imprópria integral0^infty2^-r,dr, decidindo convergência/divergência. Vamos usar conceitos de mudança de base exponencial e limites em integrais impróprias.

Passo 2

Reescrevemos o integrando em função da exponencial natural usando 2^-r=e^-rln2. Assim a integral vira integral0^inftye^-rln2,dr.
Tratamos como integral imprópria por limite: integral0^inftye^-rln2,dr=limbtoinftyintegral0^be^-rln2,dr

Passo 3

Determinamos a antiderivada de e^-rln2. Como ddre^-rln2=-ln2,e^-rln2, a primitiva é -1ln2e^-rln2

Passo 4

Avaliamos o limite: limbtoinftyl[-tfrac1ln2e^-rln2r]0^b=limbtoinftyl(-tfrac1ln2e^-bln2+tfrac1ln2r)=0+tfrac1ln2

Passo 5

Como o resultado do limite é finito, concluímos que a integral é convergente.

Resposta

A integral é convergente e vale 1ln2.

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