Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^1 d zz^2+3 z+2

Passo 1

Temos a integral
integral0^1dzz^2+3z+2
O conteúdo aqui é integração de função racional definida no intervalo [0,1]. Para resolver vamos precisar fatorar o denominador, usar frações parciais e depois integrar.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que
z^2+3z+2=(z+1)(z+2)

Passo 3

Verificamos as raízes do denominador, que são z=-1 e z=-2. Ambas estão fora do intervalo [0,1], logo a função é contínua em [0,1] e a integral é convergente.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1(z+1)(z+2)=Az+1+Bz+2
Atribuindo numeradores:
A(z+2)+B(z+1)=1
Gives A+B=0 e 2A+B=1, de onde A=1 e B=-1. Assim
1(z+1)(z+2)=1z+1-1z+2

Passo 5

Integramos termo a termo:
integraldzz+1=ln(z+1), integraldzz+2=ln(z+2)
Logo
integrall(1z+1-1z+2r)dz=ln(z+1)-ln(z+2)+C

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a 1:
l[ln(z+1)-ln(z+2)r]0^1=igl(ln2-ln3r)-l(ln1-ln2r)=ln23-ln12=ln43

Resposta

lnl(tfrac43r)

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