Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(e)
§
(e)
§
Passo 1
O enunciado pede para estudar duas integrais impróprias: (e)
e §
. Vamos usar conceitos de convergência de integrais impróprias e, para (e), integração por partes.
Passo 2
Para a integral (e) introduzimos o limite
e aplicamos integração por partes duas vezes. Definindo $I(t)=\int_{0}^{t} e^{-x}\sin x,dx: $ escolhemos
,
, então
,
. Após duas aplicações obtemos
Passo 3
Agora basta tomar o limite quando
. Como
, temos
. Portanto a integral (e) é convergente.
Passo 4
Para a integral § consideramos
. Uma primitiva é
. Então
Passo 5
Analisando o limite
, temos
e
. Logo o valor de
diverge (vai a
ou
dependendo do sinal do log, mas em módulo diverge). Concluímos que a integral § é divergente.
Resposta
(e) convergente com valor
. § divergente.