Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(e) integral0^+infty e^-x sin x d x
§ integral1^infty 13-4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar duas integrais impróprias: (e) integral0^+infty e^-xsin x,dx e § integral1^infty 13-4x,dx. Vamos usar conceitos de convergência de integrais impróprias e, para (e), integração por partes.

Passo 2

Para a integral (e) introduzimos o limite tto+infty e aplicamos integração por partes duas vezes. Definindo $I(t)=\int_{0}^{t} e^{-x}\sin x,dx: $ escolhemos I(t)=integral0^t e^-xsin x,dx: , u=sin x, então dv=e^-xdx, du=cos x,dx. Após duas aplicações obtemos
v=-e^-x

Passo 3

Agora basta tomar o limite quando tto+infty. Como e^-t(sin t+cos t)to0, temos integral0^+infty e^-xsin x,dx=limtto+inftyI(t)=12. Portanto a integral (e) é convergente.

Passo 4

Para a integral § consideramos integral1^b13-4x,dx. Uma primitiva é F(x)=-tfrac14ln|3-4x|. Então
integral1^b13-4x,dx=-14l[ln|3-4b|-ln|3-4|r]

Passo 5

Analisando o limite bto+infty, temos |3-4b|sim4b e ln|3-4b|to+infty. Logo o valor de F(b)-F(1) diverge (vai a -infty ou +infty dependendo do sinal do log, mas em módulo diverge). Concluímos que a integral § é divergente.

Resposta

(e) convergente com valor tfrac12. § divergente.

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