Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral1^infty d x(x-1)^3

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para verificar se uma integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. A integral que vamos analisar é:
integral1^infty dx(x-1)^3
Vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como determinar a convergência usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral tem um limite infinito, ou seja, ela vai de 1 até o infinito. Isso é uma integral imprópria porque envolve um intervalo infinito. Para resolver, a gente transforma essa integral em um limite:
integral1^infty dx(x-1)^3 = limb to infty integral1^b dx(x-1)^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a antiderivada da função integral dx(x-1)^3 = integral (x-1)^-3 dx . Lembra que uma antiderivada é uma função cuja derivada dá a função original. Então, vamos integrar:
integral (x-1)^-3 dx = (x-1)^-2-2 + C = -12(x-1)^2 + C
Usando a regra da potência para integrais, que diz que quando , temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites da integral definida de 1 até integral1^b dx(x-1)^3 = [ -12(x-1)^2 ]1^b = -12(b-1)^2 - ( -12(1-1)^2 ) :
Perceba que no limite inferior, quando , a expressão fica zero, o que nos dá uma indeterminação. Isso indica que a integral pode ser divergente, mas vamos verificar o comportamento quando tende ao infinito.

Passo 5

Vamos calcular o limite quando limb to infty ( -12(b-1)^2 + 12(0)^2 ) vai para o infinito:
Aqui vemos que tende a zero quando vai para o infinito. No entanto, é infinita, o que significa que a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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