Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício de cálculo que pede para verificar se uma integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. A integral que vamos analisar é:
Vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como determinar a convergência usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a integral tem um limite infinito, ou seja, ela vai de 1 até o infinito. Isso é uma integral imprópria porque envolve um intervalo infinito. Para resolver, a gente transforma essa integral em um limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a antiderivada da função
. Lembra que uma antiderivada é uma função cuja derivada dá a função original. Então, vamos integrar:
Usando a regra da potência para integrais, que diz que
quando
, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites da integral definida de 1 até
:
Perceba que no limite inferior, quando
, a expressão
fica zero, o que nos dá uma indeterminação. Isso indica que a integral pode ser divergente, mas vamos verificar o comportamento quando
tende ao infinito.
Passo 5
Vamos calcular o limite quando
vai para o infinito:
Aqui vemos que
tende a zero quando
vai para o infinito. No entanto,
é infinita, o que significa que a integral não converge para um valor finito.
Resposta
A integral
é divergente.