O que está errado na seguinte demonstração?
Seja x=y Longrightarrow x^2=x y & Longrightarrow x^2-y^2=x y-y^2 & Longrightarrow(x+y)(x-y)=y(x-y) & Longrightarrow x+y=y & Longrightarrow 2 y=y Longrightarrow 2=1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma demonstração que afirma que , o que sabemos que não é verdade. O conteúdo envolvido aqui é álgebra, especialmente manipulação de equações e fatores. Para resolver esse exercício, vamos analisar cada passo da demonstração para identificar onde está o erro.

Passo 2

A demonstração começa assumindo que . A partir disso, multiplica-se ambos os lados por para obter . Até aqui, tudo certo.

Passo 3

Em seguida, subtrai-se x^2 - y^2 = x y - y^2 de ambos os lados:
Isso também está correto, pois estamos apenas fazendo operações válidas em ambos os lados da equação.

Passo 4

Agora, fatora-se ambos os lados:
(x + y)(x - y) = y(x - y)
Ainda, está correto. Estamos aplicando a fatoração da diferença de quadrados no lado esquerdo e fatorando no lado direito.

Passo 5

Aqui vem o erro! A demonstração cancela o termo x + y = y de ambos os lados:
Mas, como inicialmente assumimos que , isso significa que . Ou seja, estamos dividindo ambos os lados por zero, o que não é permitido na matemática. Dividir por zero é indefinido e torna toda a operação inválida.

Passo 6

Depois de cancelar x + y = y Rightarrow 2y = y Rightarrow 2 = 1 , a demonstração continua:
Mas, como vimos, o passo anterior foi inválido devido à divisão por zero. Portanto, todas as conclusões posteriores estão erradas.

Resposta

O erro está na etapa em que se cancela . Como , isso significa que , e dividir por zero não é permitido. Por isso, a demonstração é inválida.

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