Seja F(x, y, z)=(y,-x, 2 z^2+x^2) e S a parte da esfera x^2+y^2+z^2 que fica abaixo do plano z=4. Calcule a integral integral duplaS rot F cdot n d S, onde n é o vetor normal unitário externo a S.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y, z) = (y, -x, 2 z^2 + x^2) e uma superfície S, que é a parte da esfera x^2+y^2+z^2 que fica abaixo do plano z=4. Precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS rot F cdot n , dS.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de um rotacional sobre uma superfície à integral de linha ao longo da borda dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de F, que é rot F. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
rot F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partialpartial y(2z^2 + x^2) - partialpartial z(-x) = 0 - 0 = 0
  1. Segunda componente:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partialpartial z(y) - partialpartial x(2z^2 + x^2) = 0 - (0 + 2x) = -2x
  1. Terceira componente:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partialpartial x(-x) - partialpartial y(y) = -1 - 1 = -2
Então, temos:
rot F = (0, -2x, -2)

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
integral duplaS rot F cdot n , dS = ointC F cdot dr
Onde C é a borda da superfície S. No nosso caso, S é a parte da esfera abaixo do plano z=4, então a borda C é o círculo de interseção entre a esfera e o plano z=4.

Passo 4

Vamos parametrizar a curva C. Como é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=R^2 com o plano z=4, precisamos primeiro determinar o raio da esfera.
Assumindo que a equação da esfera completa é x^2+y^2+z^2=R^2 e que o plano z=4 corta a esfera, podemos achar o raio do círculo C:
x^2 + y^2 + (4)^2 = R^2 Rightarrow x^2 + y^2 = R^2 - 16
Então, o raio do círculo C é raizR^2 - 16.

Passo 5

Agora, vamos parametrizar o círculo C usando coordenadas polares:
x = raizR^2 - 16 cos theta
y = raizR^2 - 16 sin theta
z = 4
theta in [0, 2pi]
O vetor diferencial de posição é então:
dr = ( -raizR^2 - 16 sin theta, raizR^2 - 16 cos theta, 0 ) dtheta

Passo 6

Vamos calcular a integral de linha ointC F cdot dr. Substituindo as parametrizações:
F(x,y,z) = ( y, -x, 2z^2 + x^2 ) = ( raizR^2 - 16 sin theta, -raizR^2 - 16 cos theta, 2(16) + (raizR^2 - 16 cos theta)^2 )
dr = ( -raizR^2 - 16 sin theta, raizR^2 - 16 cos theta, 0 ) dtheta
Calculando o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = ( raizR^2 - 16 sin theta ) ( -raizR^2 - 16 sin theta ) + ( -raizR^2 - 16 cos theta ) ( raizR^2 - 16 cos theta ) + ( 32 + (raizR^2 - 16 cos theta)^2 )(0)
Simplificando:
F cdot dr = - (R^2 - 16) sin^2 theta - (R^2 - 16) cos^2 theta = - (R^2 - 16)(sin^2 theta + cos^2 theta) = - (R^2 - 16)

Passo 7

Agora, integramos de 0 a 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi - (R^2 - 16) , dtheta = - (R^2 - 16) integral0^2pi dtheta = - (R^2 - 16)(2pi) = -2pi(R^2 - 16)

Passo 8

De acordo com o Teorema de Stokes:
integral duplaS rot F cdot n , dS = ointC F cdot dr = -2pi(R^2 - 16)

Resposta

A integral de superfície é igual a -2pi(R^2 - 16).

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