Seja
e
a parte da esfera
que fica abaixo do plano
. Calcule a integral
, onde
é o vetor normal unitário externo a
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma superfície
, que é a parte da esfera
que fica abaixo do plano
. Precisamos calcular a integral de superfície
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de um rotacional sobre uma superfície à integral de linha ao longo da borda dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de
, que é
. A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
Onde
é a borda da superfície
. No nosso caso,
é a parte da esfera abaixo do plano
, então a borda
é o círculo de interseção entre a esfera e o plano
.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva
. Como é a interseção da esfera
com o plano
, precisamos primeiro determinar o raio da esfera.
Assumindo que a equação da esfera completa é
e que o plano
corta a esfera, podemos achar o raio do círculo
:
Então, o raio do círculo
é
.
Passo 5
Agora, vamos parametrizar o círculo
usando coordenadas polares:
O vetor diferencial de posição é então:
Passo 6
Vamos calcular a integral de linha
. Substituindo as parametrizações:
Calculando o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos de
a
:
Passo 8
De acordo com o Teorema de Stokes:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.