Qual(is) das integrais abaixo são impróprias?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos identificar se a integral
é imprópria. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente às Integrais Impróprias. Para resolver, vamos verificar se existem pontos no intervalo de integração onde a função não está bem definida ou se os limites de integração são infinitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. Uma integral é considerada imprópria se:
- Há descontinuidade na função dentro do intervalo de integração.
- Um ou ambos os limites de integração são infinitos.
No nosso caso, a função a ser integrada é
.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Essa função apresenta uma descontinuidade quando o denominador é zero, ou seja, quando
.
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos ver se esse ponto de descontinuidade
está dentro do intervalo de integração
.
Como
, sim, a descontinuidade ocorre dentro do intervalo.
Passo 5
Além disso, os limites de integração são finitos (0 e 2), então não temos problemas com limites infinitos. A única questão é a descontinuidade em
.
Passo 6
Portanto, como a função não está bem definida em algum ponto dentro do intervalo de integração, a integral
é uma integral imprópria.
Resposta
A integral
é uma integral imprópria.